Make your own free website on Tripod.com
 
            หน้าหลัก     ลำดับอนันต     อนุกรมอนันต์และการทดสอบ     อนุกรมกำลัง      การลู่เข้าอย่างสมำเสมอ    คณะผู้จัดทำ     เอกสารอ้างอิง  
 
 


อนุกรมกำลัง อนุกรมเทเลอย์ และอนุกรมแมคคลอริน
(Power Series Taylor Series and Macclaurin Series)

อนุกรมกำลัง  ( Power Series )

นิยามที่ 13  ให้   เป็นค่าคงที่ และ   เป็นตัวแปร  เราเรียกอนุกรมที่เขียนในรูป

    หรือ 

ว่า  อนุกรมกำลังในกำลังของ    เรียก     เมื่อ  n = 0 , 1 , 2 ,…  ว่า  สัมประสิทธิ์ของอนุกรมกำลัง  และเรียก    ว่า  ศูนย์กลางของอนุกรมกำลัง

ถ้า   จะได้อนุกรมกำลังในกำลังของ    เป็น  

      เนื่องจากค่าของแต่ละพจน์ในอนุกรมขึ้นอยู่กับค่าของ   ลักษณะการลู่เข้าของอนุกรมกำลังจึงขึ้นอยู่กับค่าของ 

ตัวอย่างของอนุกรมกำลัง

เช่น                                 

                                      

จากทฤษฎีบทที่ 7  เราจะได้ว่า  การลู่เข้าของอนุกรมกำลัง    เป็นไปได้ 3 กรณี  ตามทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบทที่ 14   สำหรับอนุกรมกำลัง    หนึ่งในเงื่อนไขต่อไปนี้เท่านั้นที่จะเป็นจริง

(1)    อนุกรมจะลู่เข้า สำหรับค่า    ค่าเดียวเท่านั้น

(2)    อนุกรมจะลู่เข้า  สำหรับทุกค่าของ 

(3)    มีจำนวนจริงบวก  ที่ทำให้อนุกรมลู่เข้า ทุกค่า  x  เมื่อ   และลู่ออกทุกค่า   เมื่อ 

หมายเหตุ   ในกรณีที่ (3) ของทฤษฎีบทที่14   อนุกรม   อาจจะลู่เข้าหรือลู่ออกที่  x เมื่อ    ก็ได้

รัศมีและช่วงแห่งการลู่เข้า

นิยามที่ 14   เราจะเรียกค่า  ในทฤษฎีบทที่14  ว่า  รัศมีแห่งการลู่เข้า (radius  of  convergence)   และเรียกเซตของค่าของ    ทั้งหมดที่ได้ในอนุกรมลู่เข้าว่า  ช่วงแห่งการลู่เข้า (interval  of  convergence)

 

รูปที่ 1  Circle of convergence  

นิยามที่ 15

(1)  ถ้า  ลู่เข้าเมื่อ   เท่านั้น แล้วอนุกรมจะมีรัศมีแห่งการลู่เข้าเป็น 0  

       (2)  ถ้า   ลู่เข้าทุกค่า   แล้วอนุกรมจะมี รัศมีแห่งการลู่เข้าเป็น   

ตัวอย่างที่ 24   จงหารัศมีและช่วงแห่งการลู่เข้าของอนุกรม 

                วิธีทำ      ให้        

                                     

                                 

                                                = 

                โดยทฤษฏีบทที่ 7    จะได้ว่า

                   ลู่เข้าเมื่อ    หรือ    หรือ  -1 < x  < 5       …(1)

                และ      ลู่ออกเมื่อ    หรือ                    …(2)

                พิจารณาเมื่อ    หรือ  x = -1 , 5

                จะได้ว่า  อนุกรม    คือ  อนุกรม 

                ซึ่งเป็นอนุกรมลู่ออก  

                 ดังนั้น    เป็นอนุกรมลู่ออก  เมื่อ  x = -1 , 5                           … (3)

                 จาก  (1) , (2)  และ  (3)  สรุปได้ว่ารัศมีแห่งการลู่เข้าคือ  3  และช่วงแห่งการลู่เข้าคือ  (-1 , 5 )

ทฤษฎีบทที่ 15   (Radius  of  Convergence R) 

                ให้      แล้ว

           ถ้า    แล้ว      อนุกรม   ลู่เข้าทุกค่าของ

           ถ้า        แล้ว  

           ถ้า    แล้ว     อนุกรม    ลู่เข้าเมื่อ   เท่านั้น

พิสูจน์     ให้  

 จาก  ทฤษฏีบทที่ 8  (Ratio Test)   จะได้

   

ถ้า    แล้ว     ทุกค่าของ     และ โดย  Ratio Test   จะได้ว่าอนุกรมลู่เข้าทุกค่าของ 

ถ้า    แล้ว โดย  Ratio Test  อนุกรมจะลู่เข้า  เมื่อ   หรือ    และอนุกรมจะลู่ออกถ้า   หรือ         

และถ้า   แล้วโดย  Ratio Test  จะได้ว่า   สำหรับทุก    และทุก    ที่มีขนาดใหญ่เพียงพอ 

ดังนั้น อนุกรมลู่ออกสำหรับทุก   แสดงว่าเมื่อ    อนุกรมจะลู่เข้าที่    เท่านั้น    ซ.ต.พ.

 ตัวอย่างที่ 25       จงทดสอบอนุกรม 

วิธีทำ    

                ดังนั้น     นั่นคืออนุกรมลู่เข้าเมื่อ   

                ที่      อนุกรมเป็น     ลู่ออก

                ที่     อนุกรมเป็น    ลู่เข้า

                ดังนั้นช่วงของการลู่เข้าได้แก่                             ตอบ

อนุกรมเทเลอร์และอนุกรมแมคคลอริน

นิยามที่ 16  ถ้า    มีค่าอนุพันธ์ทุกอันดับที่    เรานิยาม  อนุกรมเทเลอร์ของ   รอบ    ( Taylor  series  for  about   ) ให้เป็นอนุกรมต่อไปนี้

และถ้า    เราจะเรียกอนุกรมข้างต้นว่า  อนุกรมแมคคลอรินของ    ( Maclaurin  series )  นั่นก็คือ


ตัวอย่างที่ 26   จงหาอนุกรมแมคคลอรินของ   

                วิธีทำ                           

                                        

                                        

                                      

                 ดังนั้น                           ตอบ

ตัวอย่างที่ 27    จงหาอนุกรมเทเลอร์ รอบจุด       ของ 

                วิธีทำ              

                               

                               

                               

                                .

                                .

                                .

          ดังนั้น       ตอบ

                    กลับสู่ด้านบน

จบบทเรียนแล้วไปทำแบบทดสอบหลังเรียนกันเลย