Make your own free website on Tripod.com
 
             หน้าหลัก     ลำดับอนันต     อนุกรมอนันต์และการทดสอบ     อนุกรมกำลัง      การลู่เข้าอย่างสมำเสมอ    คณะผู้จัดทำ     เอกสารอ้างอิง
 


ลำดับอนันต์
(Infinite Sequence)


        ในทางคณิตศาสตร์เราจะใช้คำว่า ลำดับ  (sequence)  เพื่อเรียกเลขหลาย ๆ จำนวนที่เรียงต่อกันไปอย่างไม่มีที่สิ้นสุด ตัวอย่างเช่น 

                                1,2,3,4,…

                                2,4,6,8,…

                                1,-1,1,-1,…

เราจะเขียนลำดับโดยไม่นิยามค่าของพจน์ต่าง ๆ เป็น    หรือ     หรือเขียนสั้น ๆ ว่า  

                จะเห็นว่าเราจะใช้    แทนพจน์ที่    ของลำดับ และค่าของ   จะขึ้นอยู่กับค่าของ       ดังนั้น   จึงเป็นฟังก์ชันของ   โดย    มีค่าเป็นจำนวนเต็มบวกเท่านั้น ซึ่งสามารถเขียนได้ว่า   

                      

     นิยามของลำดับ

             นิยามที่ 1     ลำดับ (sequence) ของจำนวนคือฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นจำนวนเต็มบวก  

             ค่าของฟังก์ชันเรียกว่า พจน์ (term)  ของลำดับ 

                นิยามที่ 2   ลำดับ   มี ลิมิตเท่ากับ    เขียนว่า     ถ้าเมื่อกำหนดค่า   จะมีจำนวนเต็ม    (เขียนว่า  หมายความว่า  ขึ้นกับ   )  ที่ทำให้       เมื่อ 

                นั่นหมายความว่า ไม่ว่า  จะมีค่ามากน้อยเพียงใด จะมีค่า    เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่งพจน์หลังจากพจน์ที่    ทั้งหมดจะอยู่ในระยะห่างจากค่า   น้อยกว่าระยะ    

                ค่า   และ   มีความสัมพันธ์กันคือ ถ้า    มีค่าน้อยแล้ว    จะมีค่ามาก และถ้า    มีค่ามากแล้ว    จะมีค่าน้อย

                นิยามที่ 3   ถ้าลำดับ    มีลิมิต   ,   จะเรียกลำดับนี้ว่า  ลำดับลู่เข้า  (convergent  sequence) 

                นิยามที่ 4   ลำดับ   เป็น ลำดับลู่ออก (divergent  sequence) ก็ต่อเมื่อ ลำดับนั้นไม่ใช่ลำดับลู่เข้า

                ตัวอย่างที่ 1    ให้     ดังนั้นลำดับนี้คือ   ซึ่งจะเห็นว่าพจน์ในลำดับนี้มีค่าเล็กลงเรื่อย ๆ แต่จะไม่มีค่าเป็นลบ ดังนั้นถ้า  มีค่ามาก ๆ แล้ว    ก็จะมีค่าที่ใกล้เคียงกับ 0   ดังนั้น ลิมิตของ   เท่ากับ 0   และลำดับนี้เป็นลำดับลู่เข้า (convergent  sequence) 
                ตัวอย่างที่ 2    ให้    ดังนั้นลำดับนี้คือ   จะเห็นว่า พจน์ในลำดับนี้มีค่าสลับกันระหว่าง  -1 และ  1  ไม่มีค่าลู่เข้าสู่ค่าใดค่าหนึ่ง  จึงไม่มีลิมิต  ดังนั้นลำดับนี้เป็นลำดับลู่ออก  (divergent  sequence)

              จากที่ได้ศึกษามาจะเห็นว่า ยังไม่มีหลักการที่แน่นอนที่จะชี้ว่าลำดับใดลู่เข้าหรือลู่ออก นอกจากจะต้องหาลิมิตของลำดับนั้น ๆ เสียก่อน  ซึ่งบางครั้งการหาลิมิตของลำดับนั้นเป็นการยากมาก  ดังนั้นถ้ามีหลักการที่จะชี้ว่าลำดับใดลู่เข้าหรือลู่ออกโดยไม่ต้องหาลิมิตแล้วจะเป็นประโยชน์อย่างมาก

                เงื่อนไขหนึ่งที่พิจารณาว่าลำดับเป็นลำดับลู่เข้าหรือลู่ออกโดยไม่ต้องหาลิมิต  ได้แก่เงื่อนไขคอชี่ ซึ่งตั้งชื่อให้เป็นเกียรติแก่นักคณิตศาสตร์คนสำคัญของโลกชาวฝรั่งเศษ  ชื่อโอกุสแตง ลุยส์ คอชี่  เงื่อนไขนี้คือ

                นิยามที่ 5  ลำดับ   เรียกว่าลำดับคอชี่ (Cauchy  sequence )  ถ้ากำหนดให้  จะมีจำนวนเต็ม  ที่ทำให้ 

        เมื่อ 

                      ตัวอย่างที่ 3     ให้    เป็นลำดับซึ่งมี   

             จงพิสูจน์ว่า   เป็นลำดับคอชี่ 

                             พิสูจน์            กำหนดให้     เลือก     

                      จะได้ว่า              เมื่อ 

                                                                      

                                                    

                                                              ดังนั้น     เป็นลำดับคอชี่                                  ตอบ

ลำดับทางเดียว (Monotone Sequence)

        นิยามที่ 6   จะกล่าวว่า ลำดับ  เป็น

                1. ลำดับเพิ่ม (increasing sequence)   ถ้า         สำหรับทุก ๆ ค่า    

                2.  ลำดับไม่ลด (nondecreasing sequence)   ถ้า         สำหรับทุก ๆ ค่า 

                3.  ลำดับลด (decreasing sequence)   ถ้า         สำหรับทุก ๆ ค่า 

                4.  ลำดับไม่เพิ่ม (nonincreasing sequence)   ถ้า         สำหรับทุก ๆ ค่า 

นิยามที่ 7    ลำดับที่มีลักษณะหนึ่งลักษณะใดใน 4 แบบข้างต้นเรียกว่า ลำดับทางเดียว (monotone sequence)

       ลำดับในแบบที่ 1 และแบบที่ 3  เรียกว่าลำดับทางเดียวแท้ (strictly  monotone sequence)

            ตัวอย่างที่ 4                                   เป็นลำดับเพิ่ม

                                                                  เป็นลำดับลด

                                                                        เป็นลำดับไม่ลด

                                                                 เป็นลำดับไม่เพิ่ม

                                และ                                  ไม่เป็นลำดับทางเดียว

วิธีการตรวจสอบลำดับทางเดียว

                1. วิธีหาผลต่าง  วิธีนี้ใช้การดูเครื่องหมายของผลต่าง    ระหว่าง 2  พจน์ที่ต่อเนื่องกันสรุปได้ดังนี้

                                ถ้า          เป็นลำดับเพิ่ม

                                ถ้า          เป็นลำดับลด

                                ถ้า          เป็นลำดับไม่ลด

                                ถ้า          เป็นลำดับไม่เพิ่ม

              ตัวอย่างที่ 5      พิจารณาลำดับ  

                               จะได้ว่า      และ  

                                 ดังนั้น          

                                                        

                                                                    สำหรับทุก ๆ ค่า   

                                      ดังนั้นลำดับนี้เป็นลำดับเพิ่ม                ตอบ

               2.  วิธีการหาเศษส่วน  วิธีนี้ใช้การเทียบเศษส่วน  ระหว่าง  2  พจน์ที่ต่อเนื่องกันกับ  1 สรุปได้ดังนี้

                                ถ้า          เป็นลำดับเพิ่ม

                                ถ้า          เป็นลำดับลด

                                ถ้า          เป็นลำดับไม่ลด

                                ถ้า          เป็นลำดับไม่เพิ่ม

                   ตัวอย่างที่ 6     พิจารณาลำดับ 

                                จะได้ว่า      และ  

                                     ดังนั้น          

                                                            

                ซึ่งน้อยกว่าหรือเท่ากับ 1  สำหรับค่า   ที่มากกว่าหรือเท่ากับ  1  ลำดับนี้จึงเป็นลำดับไม่เพิ่ม          ตอบ

3.       วิธีการหาอนุพันธ์

สำหรับลำดับ   ให้     แล้วแทน    ด้วย     ได้ฟังก์ชัน    แล้วพิจารณาอนุพันธ์ของ      

        ถ้า          เป็นลำดับเพิ่ม

        ถ้า          เป็นลำดับลด

        ถ้า          เป็นลำดับไม่ลด

        ถ้า          เป็นลำดับไม่เพิ่ม

            ตัวอย่างที่ 7     พิจารณาลำดับ  

                                จะได้ว่า  

                                ให้     

                                แทน    ด้วย     จะได้       

                                                            

                                ดังนั้นลำดับ        เป็นลำดับเพิ่ม                    ตอบ

ลำดับมีขอบเขต (Bounded Sequence)

นิยามที่ 8    ลำดับ    กล่าวว่าเป็น ลำดับมีขอบเขตบน (upper  bounded)  ถ้ามีจำนวนจริง  ที่    สำหรับทุก ๆ ค่า      และเรียกค่า   นี้ว่า ค่าขอบเขตบน ของลำดับ

                        ลำดับ    กล่าวว่าเป็น ลำดับมีขอบเขตล่าง (lower  bounded)  ถ้ามีจำนวนจริง  ที่    สำหรับทุก ๆ ค่า      และเรียกค่า   นี้ว่า ค่าขอบเขตล่าง ของลำดับ

นิยามที่ 9    ถ้า   เป็นค่าขอบเขตบน ของลำดับ   และ   เป็นค่าขอบเขตบนของลำดับ     ถ้า    แล้ว    เป็น ค่าขอบเขตบนน้อยที่สุด  (least  upper  bounded : l.u.b)

                        ถ้า  เป็นค่าขอบเขตล่าง ของลำดับ   และ  เป็นค่าขอบเขตล่างของลำดับ    ถ้า    แล้ว    เป็น ค่าขอบเขตล่างมากที่สุด  (greatest  lower  bounded : g.l.b)

      ตัวอย่างที่ 8    พิจารณาลำดับ        

                    ลำดับนี้คือ             ซึ่งเป็นลำดับลด

                            และ               เมื่อ  

                    ดังนั้นลำดับนี้มีขอบเขตบนน้อยที่สุดคือ  1

                            และ    

             ดังนั้นลำดับนี้มีขอบเขตล่างมากที่สุดคือ  0                               ตอบ

กลับสู่ด้านบน

จบบทเรียนแล้วไปทำแบบทดสอบหลังเรียนกันเลย