Make your own free website on Tripod.com
 
             หน้าหลัก     ลำดับอนันต     อนุกรมอนันต์และการทดสอบ     อนุกรมกำลัง      การลู่เข้าอย่างสมำเสมอ    คณะผู้จัดทำ     เอกสารอ้างอิง
 


อนุกรมอนันต์
(Infinite Series)

นิยามของอนุกรมอนันต์

นิยามที่ 10   ถ้าให้    เป็นลำดับอนันต์แล้ว ผลบวกของลำดับอนันต์    

 เรียกว่าอนุกรมอนันต์ แต่ละ   เรียกว่า พจน์ ของอนุกรม

     ผลบวกย่อย (patial sum) ของอนุกรมคือ  พจน์  เรียกว่าผลบวกย่อยอันดับที่   

     ลำดับ   เรียกว่า ลำดับของผลบวกย่อย (sequence  of patial sum)

     เราเรียกอนุกรมอนันต์อย่างสั้น ๆ ว่า อนุกรม

 นิยามที่ 11 กำหนดให้    เป็นลำดับของผลบวกย่อยของอนุกรม    ถ้าลำดับ    ลู่เข้าหาค่าลิมิต    แล้ว เราจะเรียก
อนุกรมนี้ว่า อนุกรมลู่เข้า (convergent  series) และ เรียก   ว่าผลรวมหรือค่าของอนุกรม

      ถ้าลำดับของผลบวกย่อยไม่ลู่เข้าจะเรียกอนุกรมนั้นว่า อนุกรมลู่ออก (divergent  series)

ตัวอย่างที่ 9  จงพิจารณาว่าอนุกรม  1-1+1-1+1-1+...  ลู่เข้าหรือลู่ออก ถ้าลู่เข้าจงหาผลบวกด้วย

 วิธีทำ         

              

              

              

 ซึ่งได้ลำดับของผลบวกย่อยดังนี้  1,0,1,0,...

 พบว่า พจน์ในลำดับมีค่าสลับกันระหว่าง 1 และ 0 ไม่ลู่เข้าสู่ค่าใดค่าหนึ่งเพียงค่าเดียว จึงไม่มีลิมิต ลำดับของผลบวกย่อยลู่ออก

 ดังนั้น อนุกรมลู่ออก และหาผลบวกไม่ได้   ตอบ

ตัวอย่างที่ 10 จงพิจารณาว่าอนุกรม     ลู่เข้าหรือลู่ออก ถ้าลู่เข้าจงหาผลบวกด้วย

 วิธีทำ ผลบวกย่อยได้แก่ 

 

 

 

 จะได้          (1)

 เพื่อหา      ให้คูณ (1) ด้วย   จะได้

         (2) 

ลบ (2) จาก  (1) จะได้

 

 

 

เนื่องจาก    เมื่อ   

ดังนั้นจะได้ว่า    

ดังนั้นอนุกรมลู่เข้า และผลบวกของอนุกรมคือ    ตอบ

การทดสอบการลู่เข้าและลู่ออกของอนุกรม

ทฤษฏีบทที่ 1  (The Divergence Test)

 ถ้า     แล้ว อนุกรม      เป็นอนุกรมลู่ออก 

ดังนั้นจากทฤษฏีบทนี้ จะใช้ทดสอบว่าอนุกรมใดเป็นอนุกรมลู่ออกหรือไม่ ด้วยการทดสอบว่าถ้า    อนุกรมนั้นเป็นอนุกรมลู่ออก

 พิสูจน์ พจน์     ย่อมเขียนได้ดังนี้ 

        

 ถ้า  s  คือผลบวกของ     ย่อมได้

  และ     

 ดังนั้น            ซ.ต.พ.

ตัวอย่างที่ 11  จงแสดงว่า     ลู่ออก

 พิสูจน์       

  

     เป็นอนุกรมลู่ออก ตอบ

 

ทฤษฏีบทที่ 2  (Cauchy’s Convergence for Series)

 อนุกรม    เป็นอนุกรมลู่เข้า ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุก     จะมี     ( ซึ่งขึ้นอยู่กับ   )  ที่ทำให้

        สำหรับทุก     และ   

      ทฤษฏีบทที่ 3 วิธีเปรียบเทียบ (Comparison Test) 

 ให้อนุกรม     และ     เป็นอนุกรมที่มีทุกพจน์เป็นจำนวนบวก และมีจำนวน    ที่ทำให้      สำหรับ     แล้ว

 1. ถ้า     ลู่เข้าแล้ว    ลู่เข้าด้วย

 2.  ถ้า     ลู่ออกแล้ว    ลู่ออกด้วย

 พิสูจน์ 1.  ถ้า     ลู่เข้าและมีผลบวกเท่ากับ    เราย่อมได้ว่า สำหรับทุกค่า   

      

 ดังนั้น 

      

 นั่นคือ อนุกรม    มีผลบวกย่อย     ซึ่งมีค่าขอบเขตบนสำหรับทุกๆ ค่า    ดังนั้นอนุกรมจึงลู่ออกตามทฤษฎีบทที่ 4

 2.  ในกรณีที่     ลู่ออก ถ้าสมมติว่า      เป็นอนุกรมลู่เข้าย่อมได้

       

 เช่นเดียวกับในข้อ 1. ซึ่งย่อมจะได้อนุกรม     ลู่เข้าดังที่เราสรุปได้ในข้อ 1. 

 อันจะค้านกับสิ่งที่เรารู้ว่า    เป็นอนุกรมลู่ออก ดังนั้น    จึงลู่เข้าไม่ได้ 

ย่อมเป็นอนุกรมลู่ออกเช่นเดียวกันกับ    ซ.ต.พ.

 มีหลักการในการใช้การทดสอบวิธีเปรียบเทียบโดยคร่าว ๆ ดังนี้

 1. เราสามารถตัดจำนวนที่เป็นค่าคงที่ในตัวส่วนของ     ได้ โดยทั่วไปจะไม่มีผลกระทบกับลักษณะการลู่เข้าหรือลู่ออกของอนุกรม

 2. ถ้ามีพหุนามใน    เป็นตัวประกอบหนึ่งของเศษ หรือตัวส่วนของ     ก็ตาม เราสามารถตัดเทอมที่มีกำลังต่ำออกหมด 

เหลือเพียงเทอมที่มีกำลังสูงที่สุดในพหุนามนั้นได้ โดยทั่วไปจะไม่มีผลกระทบต่อลักษณะการลู่เข้าหรือลู่ออกของอนุกรม

ตัวอย่างที่ 12  จงทดสอบอนุกรม    ,k เป็นค่าคงที่

 วิธีทำ         ดังนั้น      แต่     ลู่ออก

        ดังนั้น     ลู่ออกด้วย ตอบ

 

ทฤษฏีบทที่ 4 อนุกรมเรขาคณิต (Geometric Series) 

อนุกรมเรขาคณิต        ลู่เข้า ถ้า     และลู่ออกถ้า  

 ถ้าอนุกรมลู่เข้าแล้วผลบวกของอนุกรมคือ   

พิสูจน์  ในกรณีที่      พิจารณากรณีที่    ก่อน จะได้อนุกรมดังนี้

 

 

ซึ่งย่อมได้ผลบวกย่อยที่     เป็น    ดังนั้น

 

 

 

ซึ่งหาค่าลิมิตไม่ได้ อนุกรมจึงลู่ออก

ส่วนในกรณีที่    จะได้อนุกรมดังนี้

 

 

ซึ่งได้ลำดับของผลบวกย่อย ดังนี้

 

 

ซึ่งลู่ออก  อนุกรมจึงลู่ออกเช่นเดียวกัน

ในกรณีที่     ผลบวกย่อยที่    คือ

    …(1)

 

เมื่อคูณตลอดด้วย    จะได้ 

           …(2)

ลบ (2.) จาก (1.)  จะได้

    …(3)

 

เนื่องจาก    จะได้    จึงหาร (3.)  โดยตลอดได้ด้วย    ดังนี้

  

 

ในกรณีที่    จะได้      อนุกรมจึงลู่เข้า และ

 

 

แต่ถ้า    และ     จะได้    เมื่อ    เราจึงหาค่าลิมิต     ไม่ได้  หรือถ้า    และ   

 จะได ้ 

 มีเครื่องหมายสลับไปมาระหว่างบวกและลบแต่มีขนาดใหญ่ขึ้น เรื่อย ๆ เมื่อ     ดังนั้น   จะลู่ออกในกรณีที่       ซ.ต.พ.

 

ตัวอย่างที่ 13 อนุกรม   

 เป็นอนุกรมเรขาคณิต ซึ่ง        ดังนั้น อนุกรมลู่เข้าและผลบวกคือ 

        ตอบ 

ทฤษฏีบทที่ 5  อนุกรมฮาร์มอนิค (Harmonic Series)

 อนุกรมฮาร์มอนิค คือ      เป็นอนุกรมลู่ออก

พิสูจน์ อนุกรมฮาร์มอนิค มีผลบวกย่อยดังนี้ 

ซึ่งก่อให้เกิดเป็นลำดับเพิ่มดังนี้

 

นอกจากนั้นเราพบว่า

 

       

      

 

          

 

  

ดังนั้นไม่ว่า     จะเป็นค่าคงที่ใด เราย่อมหาจำนวนเต็มบวก    ได้ซึ่งทำให้    ดังนั้น    

สำหรับค่า    ค่านั้น

ลำดับ    จึงไม่มีค่าขอบเขตบน และลู่ออก               ซ.ต.พ.

 

ทฤษฏีบทที่ 6  อนุกรม-พี (P-Series) 

อนุกรม-พีหรืออนุกรมไฮเปอร์ฮาร์มอนิค (Hyperharmonic Series) คือ    

  โดยที่    จะลู่เข้าถ้า   และลู่ออกถ้า   

พิสูจน์ กรณีที่ 1 ถ้า     อนุกรมนั้นคืออนุกรมฮาร์มอนิคซึ่งได้แสดงแล้วว่าเป็นอนุกรมลู่ออก

  กรณีที่ 2 ถ้า    

 

 

      

 

 

 ซึ่งจะลู่เข้าถ้า   และลู่ออกถ้า             ซ.ต.พ.

 

ตัวอย่างที่ 14   อนุกรม   

 เป็นอนุกรมพีซึ่งมีค่า    ดังนั้นจึงเป็นอนุกรมลู่ออก 

 

 ทฤษฏีบทที่ 7 (Ratio Test)

 ถ้าอนุกรม   โดย     มี    แล้วเราจะได้ว่า

 1. ถ้า   อนุกรมลู่เข้าแบบสัมบูรณ์

 2. ถ้า   อนุกรมลู่ออก

 3. ถ้า   ทดสอบไม่ได้

 พิสูจน์ 1. สมมติว่า    กำหนดให้  

 ฉะนั้น     เนื่องจาก    เป็นจุดกึ่งกลางระหว่าง 1 และ   

 ดังนั้นจำนวน    เป็นจำนวนบวก

 เนื่องจาก

           

 เราย่อมได้ว่า จะมีค่า     ซึ่งสำหรับค่า   ที่ทำให้    อัตราส่วน    

 

จะอยู่ภายในระยะ     จาก    ดังนั้นเราจะได้ว่า 

         เมื่อ  

 นั่นคือ     เมื่อ  

         เมื่อ  

 ซึ่งให้อสมการต่อไปนี้

                         

       แต่     ดังนั้น

       

 เป็นอนุกรมเรขาคณิตที่ลู่เข้า  ดังนั้น จากอสมการข้างต้น อนุกรม

       

 ย่อมลู่เข้าด้วย ตามทฤษฏีบทที่ 4 (Comparison  Test)

 2. สมมติว่า    จะได้    เป็นจำนวนบวก

 เนื่องจาก     

 เราย่อมได้ว่า มีค่า    ซึ่งเมื่อใดที่    อัตราส่วน   จะอยู่ภายในระยะ   จาก  

          เมื่อ  

   หรือ      เมื่อ  

 นั่นคือ     เมื่อ  

 ซึ่งให้อสมการต่อไปนี้

           

 

 

เนื่องจาก    อสมการข้างต้นนี้หมายความว่า   

       ดังนั้นอนุกรม     จึงลู่ออก

 3. จะเห็นว่า    และ     ต่างก็มีค่า     แต่อนุกรมแรกลู่ออกในขณะที่อนุกรมหลังลู่เข้า          ซ.ต.พ.

ตัวอย่างที่ 15  จงทดสอบอนุกรม   

 วิธีทำ       

 ดังนั้น อนุกรมลู่เข้าแบบสัมบูรณ์   ตอบ

 

ทฤษฏีบทที่ 8 (Root Test)

 ถ้าอนุกรม  โดย      มี     แล้วเราจะได้ว่า

 1. ถ้า    อนุกรมลู่เข้าแบบสัมบูรณ์

 2. ถ้า     อนุกรมลู่ออก

 3. ถ้า    ทดสอบไม่ได้

 พิสูจน์   1.    ดังนั้นจะมี    ที่    และจะมี    ที่ทำให้     เมื่อ   

 ดังนั้น    เมื่อ    แต่    ดังนั้น     ลู่เข้า

             ลู่เข้าแท้จริง

  2.    จะมี    ที่ทำให้     เมื่อ     ดังนั้น    นั่นคือ     ลู่ออก

 3.    ให้     และ  

          และ    แต่     ลู่เข้าและ    ลู่เข้า

 เมื่อ    ทดสอบไม่ได้          ซ.ต.พ.

ตัวอย่างที่ 16  จงทดสอบอนุกรม   

 วิธีทำ    

 ดังนั้น อนุกรมลู่ออก  ตอบ 

 

ทฤษฏีบทที่ 9 (The Integral Test)   

  ให้อนุกรม      เป็นอนุกรมที่มีเทอมในอนุกรมเป็นลำดับที่ไม่เพิ่มขึ้น  (nonincreasing sequence) และฟังก์ชัน       เป็นฟังก์ชันไม่เพิ่มขึ้น (nonincreasing  function) ในช่วง      โดย     เมื่อ   จะได้ว่า     และ     ลู่เข้าหรือลู่ออกด้วยกันทั้งคู่ 

พิสูจน์ สำหรับ     , ในช่วง   

   

 อินทิเกรท จาก      ถึง  

    

 ดังนั้นเราจะได้      …(1) และ      …(2)

 ในเทอมของผลบวกย่อย จาก (1) จะได้   

 แต่ถ้าอนุกรมลู่เข้าหาผลบวก    แล้ว      ดังนั้น   

 จะเห็นว่า     ถูก bound ด้วย 

 และเพราะ     เป็นฟังก์ชันไม่เพิ่มขึ้น

 ดังนั้น      มีลิมิตและลู่เข้า

  และจาก (2) ถ้า       ลู่เข้า แล้ว      หาค่าได้

 เพราะ    

     ถูก bound ด้วย     และ     เป็นลำดับที่ไม่เพิ่มขึ้น  

 ดังนั้น ในเทอมของผลบวกย่อยจะมีลิมิต และ      ลู่เข้า 

 การพิสูจน์เกี่วยกับลู่ออกเป็นไปในทำนองเดียวกัน  ซ.ต.พ.

ตัวอย่างที่ 17   จงพิจารณาว่าอนุกรม    ลู่เข้าหรือลู่ออก  

 วิธีทำ       

 กำหนดให้   

         

 เนื่องจาก   

      ลู่เข้า ดังนั้น      ลู่เข้าเช่นกัน ตอบ

 

 

ทฤษฏีบทที่ 10 (The Limit  Form of Comparison Test)

 ให้อนุกรม      และ    เป็นอนุกรมที่มีทุกพจน์เป็นจำนวนบวก และ       เมื่อ    มีค่าจำกัด และ   เราจะได้อนุกรมทั้งสองลู่เข้าหรือลู่ออกด้วยกันทั้งคู่

 พิสูจน์ กำหนดให้    

 จะได้    เนื่องจาก    และจาก

   

 ทำให้มีจำนวน    ทำให้

   เมื่อใดที่  

 หรือได้    

 หรือ         ….(1)

 ทั้งนี้ ถ้า    ลู่เข้า    จะลู่เข้าเช่นกัน ดังนั้นอสมการทางซ้ายใน (1)     ลู่เข้าเช่นกัน 

ซึ่งทำให้ได้   ลู่เข้า

 ในทางกลับกัน ถ้า   ลู่เข้า   ก็จะลู่เข้า  ดังนั้น    จึงลู่เข้าด้วย โดยอสมการทางขวาใน (1) ซึ่งทำให้ได้    ลู่เข้าเช่นกัน 

ตัวอย่างที่ 18  จงทดสอบอนุกรม 

วิธีทำ       

   ,    เป็นค่าจำกัดและ เป็นค่าบวก

เพราะว่า    เป็นอนุกรมพีซึ่งมีค่า     จึงเป็นอนุกรมลู่ออก 

ดังนั้น    จึงลู่ออกเช่นกัน  ตอบ

 

 

  ทฤษฏีบทที่ 11 (Alternating  Series Test)

 อนุกรมซึ่งมีพจน์ที่มีเครื่องหมายเป็นบวกหรือลบสลับกันไป หรืออนุกรม    หรือ     เรียกว่า อนุกรมสลับ

(alternating series) จะลู่เข้า ถ้าเงื่อนไขต่อไปนี้เป็นจริงทั้งสองประการ คือ 

    1.    

    2.     

    พิสูจน์ เราจะพิจารณาเฉพาะอนุกรม

   

   โดยการพิสูจน์สำหรับอีกกรณีหนึ่งนั้นจะคล้ายคลึงกัน

   ผลบวกย่อยของอนุกรมข้างต้นคือ

    

     

    

    จะได้

    

 ทั้งนี้เพราะผลต่างในทุกวงเล็บไม่เป็นจำนวนลบเนื่องจากเงื่อนไขข้อที่1.  นอกจากนั้นทุกๆพจน์ในลำดับของผลบวกย่อย   ต่างมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ   เนื่องจาก

    

 

    

    ดังนั้นลำดับ  ลู่เข้าหาค่าลิมิต  

        …(1)

    จากการสังเกตลำดับของผลบวกย่อย  จะพบว่า

    

    หรือ 

     

       ดังนั้น

      

                  …(2)

   จาก (1) และ (2)  ย่อมได้ว่า อนุกรม    ลู่เข้าหาค่า     นั่นเอง ซ.ต.พ.

ตัวอย่างที่ 19  อนุกรม     มีชื่อว่า อนุกรมฮาร์มอนิคสลับ

 เนื่องจาก      และ  

 ดังนั้นอนุกรมฮาร์มอนิคสลับนี้จึงลู่เข้า ตอบ

นิยามที่ 12   เรากล่าวว่าอนุกรม      ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ (absolutely convergent)  ถ้า

อนุกรมของค่าสัมบูรณ์     ลู่เข้า

    ถ้าอนุกรม    ลู่เข้า แต่   ลู่ออก แล้วเราจะกล่าวว่า อนุกรมลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข (conditionally convergent) 

ตัวอย่างที่ 20  อนุกรม    ลู่เข้า แต่ลู่เข้าแบบมีเงื่อนไขอย่างเดียวเพราะอนุกรมของค่าสัมบูรณ์ลู่ออก

     ตัวอย่างที่ 21  พิจารณา   ซึ่งเป็นอนุกรม-พี มี     ดังนั้นจึงลู่เข้า 

ซึ่งหมายความว่า    ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ จึงลู่เข้าแบบมีเงื่อนไขด้วย

   บทแทรกที่ 1  ถ้าอนุกรมลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ แล้วอนุกรมนั้นจะลู่เข้า 

  ทฤษฎีบทที่ 12 วิธีของคุมเมอร์ (Kummer Test)

 ให้          เป็นอนุกรมบวก 

1. ถ้ามีลำดับ   ซึ่งทุกๆ เทอมของ      จะเป็นบวกและมีค่าคงที่    และ   ที่ทำให้     เมื่อ    แล้ว       จะลู่เข้า

2.   ถ้า    เมื่อ    แล้ว     ลู่ออกเมื่อ     ลู่ออก

พิสูจน์

    1.    ดังนั้น    เมื่อ  

           ....( 1 )

            ....( 2 )

    .

    .

    .

    บวก    จะได้

    

    และ    

         จะได้  

         เป็นลำดับจำกัด นั่นคือ     ลู่เข้า

 

    2.       เมื่อ     ดังนั้น    เป็นอันดับไม่ลดลง

           เมื่อ    เป็นค่าคงที่ ดังนั้น 

           ลู่ออกเพราะ     ลู่ออก  ซ.ต.พ

 

ตัวอย่างที่ 22  จงทดสอบอนุกรม 

  ด้วยวิธีคุมเมอร์

วิธีทำ  ให้       จะได้       =  

ดังนั้น      เป็นลบทุก ๆ  

 และ        ลู่ออก  จากวิธีของคุมเมอร์จะได้ว่าอนุกรมที่ให้มาลู่ออก     ตอบ

 

 

ทฤษฎีบทที่ 13 วิธีแรบบี้ (Raabe’s Test)  

ให้       เป็นอนุกรมบวกและ    เมื่อ        ดังนั้น

      1.      ลู่เข้า เมื่อ    

      2.      ลู่ออก  เมื่อ    

      3.  ทดสอบไม่ได้  เมื่อ   

ตัวอย่างที่ 23 จงทดสอบอนุกรม      ด้วยวิธีแรบบี้

วิธีทำ      

 ซึ่ง   

  แต่         จากวิธีของแรบบี้จะได้ว่าอนุกรมที่ให้มาลู่ออก       ตอบ

กลับสู่ด้านบน

จบบทเรียนแล้วไปทำแบบทดสอบหลังเรียนกันเลย