Make your own free website on Tripod.com
 
             หน้าหลัก     ลำดับอนันต     อนุกรมอนันต์และการทดสอบ     อนุกรมกำลัง      การลู่เข้าอย่างสมำเสมอ    คณะผู้จัดทำ     เอกสารอ้างอิง
 


การลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอ
(Uniform Convergence)

นิยามที่ 17    ให้    เป็นลำดับของฟังก์ชันบนช่วง   เรากล่าวว่า    ลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอ (uniformly convergent) สู่   ใน    ถ้าทุกๆ   มีจำนวน   ที่ไม่ขึ้นกับ   ที่ทำให้                

          สำหรับทุก    และทุก   ใน 

รูปที่ 2  Uniform convergence

        ความหมายในเชิงเรขาคณิตสามารถวาดภาพได้ดังรูป  สำหรับค่า n  ที่ใหญ่พอ คือ    กราฟของ    จะต้องอยู่ภายในแถบที่หนา    รอบ ๆ กราฟของ 

                ทฤษฎีบทที่ 16   เงื่อนไขที่จำเป็นและพอเพียงที่    จะลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอส ู่  ใน   คือ ลำดับ   ลู่เข้าสู่ศูนย์  ถ้าเรานิยามให้   

         พิสูจน์      เงื่อนไขที่พอเพียง     สมมติว่า จะได้ว่า   สำหรับทุก   จะมี   ที่ทำให้        เมื่อใดที่

แต่    สำหรับทุก   ใน   เราย่อมได้        เมื่อใดที่  นั่นคือ    ลู่เข้าสู่ 

         เงื่อนไขที่จำเป็น    สมมติว่า    อย่างสม่ำเสมอ  จะได้ว่า สำหรับทุกๆ   มีจำนวน   ที่ไม่ขึ้นกับ    ที่ทำให้       เมื่อ 

          ค่า    นี้เป็นขอบเขตบนค่าหนึ่งของจำนวน     ต่าง ๆ  ดังนั้นขอบเขตบนค่าน้อยสุด     นั่นคือ          เมื่อ  

ดังนั้น   ตามต้องการ                                                                  ซ.ต.พ.

ตัวอย่าง 28     จงแสดงว่าลำดับ     โดยที่

                      

ลู่เข้าสู่  0  อย่างสม่ำเสมอใน   

วิธีทำ                     

                ดังนั้น    จึงได้    อย่างสม่ำเสมอ                   ตอบ

ทฤษฎีบทที่ 17  (Weierstrass  M-test  for Uniform Convergence)

                ให้     เป็นลำดับของฟังก์ชันนิยามบนช่วง   และมีลำดับของจำนวนคงที่     ที่ทำให้    สำหรับทุก  ใน    และทุก    ถ้าอนุกรม    ลู่เข้า  จะได้อนุกรม    ลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอ (uniform  convergence)  ใน 

      พิสูจน์    เนื่องจาก   ลู่เข้า  สำหรับทุก  จะมี    ที่ทำให้    เมื่อใดที่   

                ถ้า     เราจะได้ว่า  สำหรับทุก   ใน 

                               

                                               

                                                

              ดังนั้นอนุกรมจึงลู่เข้าสม่ำเสมอใน   โดย  Cauchy’s  Convergence for  Sequence       ซ.ต.พ.

ตัวอย่างที่ 29    จงทดสอบอนุกรม    ในช่วง     

                วิธีทำ      จะเห็นได้ว่า      ทุก ๆ ค่าของ      

                ให้     ดังนั้น    ลู่เข้า

        ดังนั้น    ลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอ                                      ตอบ 

กลับสู่ด้านบน

จบบทเรียนแล้วไปทำแบบทดสอบหลังเรียนกันเลย